Temi di esame per l'ammissione al Dottorato


Scritto di dottorato (3 ore) - XV ciclo

Commissione: F. Toigo, F. Pegoraro, G. Zumerle, D. Bazzacco (esperto), S. Matarrese (esperto)

Tema 1

Il candidato risolva sei problemi a scelta tra i seguenti:
  1. Si consideri l'equazione di Schroedinger unidimensionale
    - (d2Phi / dx2) + gV(x) Phi(x) = E Phi(x)
    dove g è una costante di accoppiamento fisica. Qual è la dipendenza da g dello stato fondamentale
    1. se V(x) è armonico: V(x) = x2
    2. se V(x) è lineare simmetrico: V(x) = |x| ?

  2. Due stati ortonormali |1> e |2> costituiscono una base per la descrizione di un sistema a due livelli. L'hamiltoniano del sistema è tale che: H|1> = alfa|1> + beta|2> e H|2> = beta|1> + alfa|2> con alfa e beta numeri reali. Calcolare gli autovalori di H ed i corrispondenti autostati.

  3. Su ogni sito di un reticolo cubico 3D vi sia uno spin con un'unica componente Sz che può assumere i valori +1/2 o -1/2. Assumento un accoppiamento ferromagnetico -J < 0 tra primi vicini, ed usando l'approssimazione di campo medio, mostrare che esiste una temperatura Tc tale che, in assenza di campi esterni, m(T) = <Sz> è diverso da zero solo se T < Tc e che
    m(t) ~ (Tc - T)1/2 / Tc
    per T -> Tc.

  4. Si calcoli la velocità del suono in una catena lineare di passo a di atomi di massa M connessi da molle con costanti elastiche K1 tra primi vicini e K2 tra secondi vicini.

  5. Si calcoli la costante dielettrica, in funzione della frequenza, in un mezzo materiale formato da un insieme di oscillatori armonici identici, uniformemente distribuiti con densità n e frequenza propria di oscillazione omega0. In questo modello omega0 descrive il legame tra gli elettroni, che si possono muovere sotto l'azione del campo esterno di frequenza omega, ed i nuclei del reticolo che sono presi immobili. In quale limite si riottiene l'espressione della costante dielettrica di un plasma?

  6. In un plasma, preso per semplicità uniforme, isotropo e senza campi elettromagnetici di equilibrio (statici), oltre alle onde elettromagnetiche trasversali che hanno la relazione di dispersione omega2 = k2c2 + omegap2, dove i simboli sono standard ed omegap è la frequenza di plasma, sono possibili anche onde longitudinali che, per velocità di fase maggiori della velocità termica degli elettroni, hanno la relazione di dispersione omega2 = omegap2.
    Si dica quanto valgono la velocità di fase e di gruppo per i due tipi di onde. Nelle onde longitudinali il campo magnetico è identicamente nullo. Si spieghi come questo sia possibile, cioè come siano possibili onde longitudinali in un plasma, nonostante la corrente di spostamento non sia nulla.

  7. Ad una data temperatura l'Universo è composto da un fluido di fotoni, elettroni e positroni ultra-relativistici in equilibrio termodinamico, con potenziale chimico nullo. L'entropoa totale del sistema in un volume V che si espande con l'Universo stesso è conservata,
    s(T,V)=(4/3) rho V/T = costante
    (in unità c = hbar = kB = 1), dove rho è la densità di energia totale del fluido (in condizioni ultra-relativistiche ogni stato di elicità fermionico contribuisce all'energia un fattore 7/8 quello di un singolo stato di polarizzazione dei fotoni; si ricorda che sia l'elettrone che il positrone hanno due stati di elicità). Si supponga che istantaneamente vi sia annichilazione delle coppie e+e- con produzione di fotoni. Imponendo la continuità del volume V in tale istante si calcoli di quanto è cresciuta la temperatura dei fotoni subito dopo tale evento.

  8. Si supponga che la densità di energia in un dato sistema 3-dimensionale di volume infinito abbia fluttuazioni spaziali attorno al valor medio, descritte da un campo 'random' phi(x). Sia csi(r) = <phi(x)phi(x+r)> la corrispondente 'funzione di autocorrelazione'. (Si intende che la media <.> è una media spaziale). Si mostri che se il sistema è omogeneo e isotropo, allora la trasformata di Fourier P(k) della funzione di autocorrelazione dipende solo dal modulo di k.

  9. I fotoni della radiazione cosmica di fondo hanno una distribuzione planckiana. Dopo il 'disaccoppiamento' tra materia e radiazione al tempo td corrispondente ad una temperatura Td, il numero di fotoni in un volume V(t)=Vda3(t) si conserva [a(t) è il fattore di espansione dell'Universo che cresce col passare del tempo, e abbiamo assunto a(td) = 1], ma l'energia di ogni fotone diminuisce come h nu(t) = h nud / a(t). Calcolare la variazione della densità di energia totale rho(t) dei fotoni e la loro distribuzione.

  10. Un contatore, posto vicino ad una sorgente radioattiva, misura in un minuto N1=12525 conteggi. Posto nella stessa posizione 24 ore dopo il contatore misura in un minuto N2=1836 conteggi. Calcolare la vita media della sorgente e l'errore della misura.

  11. Un fascio di protoni di momento p = 15 GeV/c attraversa lungo l'asse un tronco di cono di un materiale trasparente con indice di rifrazione n = 1.4. Calcolare l'angolo di apertura del cono tale che la radiazione Cerenkov, dopo una riflessione, si propaghi parallelamente all'asse.

  12. Un antico pezzo di legno, completamente carbonizzato, di massa m = 20 g, presenta una attività da 14C pari a R=200 decadimenti/minuto. Sapendo che negli organismi viventi il rapporto tra 14C e 12C è circa F=1.3 10-12 e che la vita media del 14C è pari a tau=2.61 1011 s, calcolare quanto tempo è trascorso dalla morte dell'albero da cui il legno proviene.

  13. Una sorgente radioattiva sigillata di 60Co è stata comperata 10 anni fa con un'attività di 400 kBq. Calcolare la sua attività al giorno d'oggi sapendo che il tempo di dimezzamento del 60Co è di circa 5 anni. Tenendo presente che nel decadimento del 60Co vengono emessi due gamma in cascata, calcolare il ritmo di conteggio sia di singole che di concidenza che si ottiene mettendo la sorgente al centro di due rivelatori aventi ciascuno un'efficienza assoluta del 10%.

  14. Un fascio di 90Zr con un'energia di 360 MeV colpisce un bersaglio sottile di 90Zr. Calcolare lo spostamento Doppler di una transizione gamma di 1 MeV emessa dal nucleo composto 180Hg a 60 e 90 gradi rispetto alla direzione del fascio.

  15. Determinare i possibili stati di momento angolare per la configurazione (j)2 con j = 2, 5/2, 3, 7/2.

Tema 2

Il candidato risolva sei problemi a scelta tra i seguenti:
  1. Si consideri l'equazione di Schroedinger unidimensionale
    - (d2Phi / dx2) + gV(x) Phi(x) = E Phi(x)
    dove g è una costante di accoppiamento fisica. Qual è la dipendenza da g dello stato fondamentale
    1. se V(x) è armonico: V(x) = x2
    2. se V(x) è lineare simmetrico: V(x) = |x| ?

  2. Determinare la densità del rame sapendo che ha una struttura cristallina cubica a facce centrate con un atomo per cella primitiva e che il suo raggio atomico è rat=0.1278 nm. (ACu = 63.546).

  3. Su ogni sito di un reticolo cubico 3D vi sia uno spin con un'unica componente Sz che può assumere i valori +1/2 o -1/2. Assumento un accoppiamento ferromagnetico -J < 0 tra primi vicini, ed usando l'approssimazione di campo medio, mostrare che esiste una temperatura Tc tale che, in assenza di campi esterni, m(T) = <Sz> è diverso da zero solo se T < Tc e che
    m(t) ~ (Tc - T)1/2 / Tc
    per T -> Tc.

  4. Con un esperimento di scattering si vuole misurare la dispersione dei fononi [hbar omega(q) ~ 1 - 100 meV] su tutta la zona di Brillouin di un cristallo non magnetico di costante reticolare a = 0.4 nm. Individuare tra le seguenti una o più sonde adatte allo scopo tenendo conto delle limitazioni sperimentali:
    1. luce nel visibile
    2. raggi X di energia 104 eV
    3. neutroni termici
    4. fasci atomici di 4He di energia E ~ 60 meV
    Spiegare i motivi della scelta in non più di 15 righe.

  5. Si calcoli la costante dielettrica, in funzione della frequenza, in un mezzo materiale formato da un insieme di oscillatori armonici identici, uniformemente distribuiti con densità n e frequenza propria di oscillazione omega0. In questo modello omega0 descrive il legame tra gli elettroni, che si possono muovere sotto l'azione del campo esterno di frequenza omega, ed i nuclei del reticolo che sono presi immobili. In quale limite si riottiene l'espressione della costante dielettrica di un plasma?

  6. Si descriva il moto nel piano perpendicolare ad un campo magnetico B di un elettrone e di uno ione in un campo elettrico E perpendicolare a B. I campi sono statici, uniformi, e |B|>>|E| (vengono usate unità cgs). Si consideri il moto delle particelle mediato sul loro periodo di girazione. Si dica come questo moto mediato dipende dalla carica e dalla massa delle particelle.

  7. Un neutrone viene prodotto in una sorgente a distanza L dalla Terra. Sapendo che la vita media del neutrone, nel suo sistema a riposo, è tau e che la sua massa è m, si determini quale deve essere l'energia della particella affinchè essa abbia 50% di probabilità di raggiungere la Terra prima del decadimento.

  8. I fotoni della radiazione cosmica di fondo hanno una distribuzione planckiana. Dopo il 'disaccoppiamento' tra materia e radiazione al tempo td corrispondente ad una temperatura Td, il numero di fotoni in un volume V(t)=Vda3(t) si conserva [a(t) è il fattore di espansione dell'Universo che cresce col passare del tempo, e abbiamo assunto a(td) = 1], ma l'energia di ogni fotone diminuisce come h nu(t) = h nud / a(t). Calcolare la variazione della densità di energia totale rho(t) dei fotoni e la loro distribuzione.

  9. Un elettrone che si muova ad una velocità v<<c rispetto ad un bagno di radiazione isotropa alla temperatura T0, la cui densità di energia è pari a rho = sigma T04 (con sigma costante di Stefan-Boltzmann), vede una distribuzione anisotropa di fotoni con temperatura T(theta)~T0[1 + (v/c) cos theta], dove theta è l'angolo tra la velocità dell'elettrone e la linea di vista. Si calcoli (in modulo) la forza viscosa subita dall'elettrone nel suo moto, a causa di tale radiazione anisotropa, al prim'ordine in v/c. (Si possono utilizzare unità con c=1, per semplicità).

  10. Un contatore di area S = 10 cm2, posto alla distanza d1 = 30 cm da una sorgente radioattiva, misura R1=9649 conteggi/minuto. Posto ad una distanza tripla misura R2=2064 conteggi/minuto. Calcolare l'attività della sorgente e la frequenza di conteggi dovuti a rumore del contatore.

  11. In un collider due fasci di protoni, ciascuno di momento p = 2.11 GeV/c, si scontrano con velocità esattamente opposte. Calcolare il massimo momento possibile per gli antiprotoni prodotti nell'urto.

  12. La quantità di energia liberata nell'esplosione della prima bomba atomica corrisponde all'annichilazione di circa 1 grammo di materia. Tenendo presente che la fissione di un atomo di 235U libera circa 180 MeV di energia, calcolare quanti chilogrammi di materiale sono fissionati in quella esplosione.

  13. Calcolare il numero di reazioni al secondo prodotte da un fascio di 28Si di 1010 particelle/secondo che colpisce un bersaglio di 124Sn spesso 1 mg/cm2. La sezione d'urto della reazione è di 1 barn e la densità del bersaglio è di 7 g/cm3.

  14. Determinare i possibili stati di momento angolare per la configurazione (j)2 con j = 2, 5/2, 3, 7/2.

  15. Uno stato eccitato |1> viene popolato con una intensità iniziale N0 e decade con una vita media tau1 verso uno stato |2> il quale decade a sua volta con una vita media tau2 diversa da tau1 su un terzo stato |3> stabile. Determinare la popolazione dei tre stati in funzione del tempo nell'ipotesi che a t=0 la popolazione di |2> e di |3> sia nulla.

Tema 3

Il candidato risolva sei problemi a scelta tra i seguenti:
  1. Si consideri l'equazione di Schroedinger unidimensionale
    - (d2Phi / dx2) + gV(x) Phi(x) = E Phi(x)
    dove g è una costante di accoppiamento fisica. Qual è la dipendenza da g dello stato fondamentale
    1. se V(x) è armonico: V(x) = x2
    2. se V(x) è lineare simmetrico: V(x) = |x| ?

  2. Su ogni sito di un reticolo cubico 3D vi sia uno spin con un'unica componente Sz che può assumere i valori +1/2 o -1/2. Assumento un accoppiamento ferromagnetico -J < 0 tra primi vicini, ed usando l'approssimazione di campo medio, mostrare che esiste una temperatura Tc tale che, in assenza di campi esterni, m(T) = <Sz> è diverso da zero solo se T < Tc e che
    m(t) ~ (Tc - T)1/2 / Tc
    per T -> Tc.

  3. Determinare la densità del rame sapendo che ha una struttura cristallina cubica a facce centrate con un atomo per cella primitiva e che il suo raggio atomico è rat=0.1278 nm. (ACu = 63.546).

  4. Un elettrone libero, nel vuoto, viene investito da un'onda elettromagnetica piana di frequenza omega ed ampiezza del campo elettrico E nel sistema di riferimento ove l'elettrone è inizialmente fermo. Si trovi la condizione sull'ampiezza dell'onda affinché, in questo riferimento, il termine magnetico nella forza che i campi dell'onda esercitano sull'elettrone, possa venir trascurato rispetto al termine elettrico.

  5. In un plasma, preso per semplicità uniforme, isotropo e senza campi elettromagnetici di equilibrio (statici), oltre alle onde elettromagnetiche trasversali che hanno la relazione di dispersione omega2 = k2c2 + omegap2, dove i simboli sono standard ed omegap è la frequenza di plasma, sono possibili anche onde longitudinali che, per velocità di fase maggiori della velocità termica degli elettroni, hanno la relazione di dispersione omega2 = omegap2.
    Si dica quanto valgono la velocità di fase e di gruppo per i due tipi di onde. Nelle onde longitudinali il campo magnetico è identicamente nullo. Si spieghi come questo sia possibile, cioè come siano possibili onde longitudinali in un plasma, nonostante la corrente di spostamento non sia nulla.

  6. Ad una data temperatura l'Universo è composto da un fluido di fotoni, elettroni e positroni ultra-relativistici in equilibrio termodinamico, con potenziale chimico nullo. L'entropoa totale del sistema in un volume V che si espande con l'Universo stesso è conservata,
    s(T,V)=(4/3) rho V/T = costante
    (in unità c = hbar = kB = 1), dove rho è la densità di energia totale del fluido (in condizioni ultra-relativistiche ogni stato di elicità fermionico contribuisce all'energia un fattore 7/8 quello di un singolo stato di polarizzazione dei fotoni; si ricorda che sia l'elettrone che il positrone hanno due stati di elicità). Si supponga che istantaneamente vi sia annichilazione delle coppie e+e- con produzione di fotoni. Imponendo la continuità del volume V in tale istante si calcoli di quanto è cresciuta la temperatura dei fotoni subito dopo tale evento.

  7. Si supponga che la densità di energia in un dato sistema 3-dimensionale di volume infinito abbia fluttuazioni spaziali attorno al valor medio, descritte da un campo 'random' phi(x). Sia csi(r) = <phi(x)phi(x+r)> la corrispondente 'funzione di autocorrelazione'. (Si intende che la media <.> è una media spaziale). Si mostri che se il sistema è omogeneo e isotropo, allora la trasformata di Fourier P(k) della funzione di autocorrelazione dipende solo dal modulo di k.

  8. Un elettrone che si muova ad una velocità v<<c rispetto ad un bagno di radiazione isotropa alla temperatura T0, la cui densità di energia è pari a rho = sigma T04 (con sigma costante di Stefan-Boltzmann), vede una distribuzione anisotropa di fotoni con temperatura T(theta)~T0[1 + (v/c) cos theta], dove theta è l'angolo tra la velocità dell'elettrone e la linea di vista. Si calcoli (in modulo) la forza viscosa subita dall'elettrone nel suo moto, a causa di tale radiazione anisotropa, al prim'ordine in v/c. (Si possono utilizzare unità con c=1, per semplicità).

  9. Un contatore, posto vicino ad una sorgente radioattiva, misura in un minuto N1=12525 conteggi. Posto nella stessa posizione 24 ore dopo il contatore misura in un minuto N2=1836 conteggi. Calcolare la vita media della sorgente e l'errore della misura.

  10. Si consideri un tubo metallico, di raggio interno R = 1.5 cm, sul cui asse è teso un filo conduttore di raggio r = 30 micron. I due conduttori sono tenuti ad una differenza di potenziale V0 = 2100 V. Calcolare:
    1. il campo elettrico sulla superficie del filo;
    2. la tolleranza ammissibile sul raggio del filo se si vuole che il campo elettrico sulla sua superficie non differisca più del 3% dal valore nominale.

  11. Una sorgente radioattiva sigillata di 60Co è stata comperata 10 anni fa con un'attività di 400 kBq. Calcolare la sua attività al giorno d'oggi sapendo che il tempo di dimezzamento del 60Co è di circa 5 anni. Tenendo presente che nel decadimento del 60Co vengono emessi due gamma in cascata, calcolare il ritmo di conteggio sia di singole che di concidenza che si ottiene mettendo la sorgente al centro di due rivelatori aventi ciascuno un'efficienza assoluta del 10%.

  12. Un fascio di 90Zr con un'energia di 360 MeV colpisce un bersaglio sottile di 90Zr. Calcolare lo spostamento Doppler di una transizione gamma di 1 MeV emessa dal nucleo composto 180Hg a 60 e 90 gradi rispetto alla direzione del fascio.

  13. Calcolare il numero di protoni trasformati al secondo all'interno del Sole tenendo presente che la trasformazione di quattro protoni in un nucleo di 4He libera circa 25 MeV di energia e che sulla Terra arriva mediamente una potenza di 1.4 kW/m2.

  14. Uno stato eccitato |1> viene popolato con una intensità iniziale N0 e decade con una vita media tau1 verso uno stato |2> il quale decade a sua volta con una vita media tau2 diversa da tau1 su un terzo stato |3> stabile. Determinare la popolazione dei tre stati in funzione del tempo nell'ipotesi che a t=0 la popolazione di |2> e di |3> sia nulla.

  15. Un mesone K0 di momento p = 5 GeV decade in due pioni neutri in direzione parallela alla linea di volo. Calcolare:
    1. il momento del pione più energetico;
    2. la minima distanza tra i punti di impatto dei fotoni in cui questo pione decade su un rivelatore posto a d=20 m dal punto di decadimento.


Scritto di dottorato (4 ore) - XIV ciclo

Commissione: A. Bassetto, F. Barocchi, A. Drigo

Tema 1

Il candidato risolva i problemi che seguono. Vengano scritte per ciascun problema, nel modo più chiaro possibile, soltanto le equazioni necessarie ad ottenere i risultati richiesti, accompagnate eventualmente da un brevissimo commento (non più di una riga).

Problema 1

Ad una estremità di uno spillo di lunghezza l e massa trascurabile è saldata una sferetta di massa m e dimensioni trascurabili.
Al tempo t = 0 lo spillo si trova in una posizione verticale di equilibrio instabile, con la sferetta sul punto più alto e l'altra estremità appoggiata sul bordo di un tavolo scabro di altezza L da terra. Si consideri il problema in due dimensioni.
Per effetto di una piccola perturbazione lo spillo si mette in movimento verso l'esterno sotto l'azione della gravità.
Qual è la posizione della sferetta quando lo spillo si stacca dal tavolo? A quale distanza si trova la sferetta dalla verticale del bordo del tavolo quando la sua altezza da terra misura L / 2?
Valori numerici: L = 90 cm, l = 3 cm.

Problema 2

Una spira rettangolare ha lati a = 30 cm, parallelo all'asse y, e b = 5 cm parallelo all'ase z, e resistenza R = 12 ohm.
A partire dall'istante t = 0, in cui giace sul piano yz, essa compie una rotazione di novanta gradi con velocità angolare omega = 4 pi rad/s intorno all'asse z.
La spira è immersa in un campo magnetico B = B0 sin (omega t) con B0 = 0.1 T, diretto lungo l'asse x.
Determinare:

Problema 3

Un oscillatore armonico tridimensionale di massa m, costante elastica k, carica elettrica e, nel suo stato fondamentale, è bruscamente immerso in un campo elettrico uniforme E.
Determinare le probabilità di transizione ai nuovi livelli.

Tema 2

Il candidato risolva i problemi che seguono. Vengano scritte per ciascun problema, nel modo più chiaro possibile, soltanto le equazioni necessarie ad ottenere i risultati richiesti, accompagnate eventualmente da un brevissimo commento (non più di una riga).

Problema 1

Due rulli cilindrici di legno, uguali, di raggio R, con assi alla stessa altezza da terra, paralleli, a distanza D > 2R l'uno dall'altro, ruotano attorno ai loro assi in senso orario e antiorario rispettivamente, con velocità angolare costante omega. Al tempo t = 0 sopra i rulli viene appoggiata orizzontalmente, con velocità nulla rispetto al riferimento di laboratorio, una tavola di legno sottoposta alla forza di gravità, omogenea, di massa m, a forma di parallelepipedo, il cui baricentro si trova ad una distanza d < D/2 dal punto di mezzo tra i due assi. Sia k il coefficiente di attrito tra la tavola ed i rulli.
Descrivere il moto della tavola. Qual è la potenza dissipata? Cosa succede se si invertono entrambi i versi di rotazione dei due rulli?

Problema 2

Un solenoide toroidale in aria, di sezione sigma = 1 cm2 e raggio medio r = 10 cm, ha N = 104 spire. Una spira di area S, coplanare ad una delle spire del solenoide, è connessa ad un circuito esterno RC (R = 100 ohm, C = 1 microF), con il condensatore C caricato al potenziale V0 = 1000 V e con il circuito inizialmente aperto. All'istante t = 0 un interruttore chiude il circuito esterno. Determinare:
  1. il coefficiente di mutua induzione, M, tra la spira ed il solenoide;
  2. la forza elettromotrice ai capi dell'avvolgimento del solenoide dopo t = 3 10-4 s.

Problema 3

Una particella di massa m è descritta dall'hamiltoniano
H = p2/2m + ar, a > 0
Provare la regola di somma per le transizioni di dipolo
Somma su k { (Ek - En) |xkn|2 } = hbar2/2m
essendo xkm l'elemento di matrice della componente x del vettore r tra autostati dell'hamiltoniano. La somma è estesa a tutti i livelli di energia, mentre n indica un livello generico. Come varia il risultato se a -> 0?

Tema 3

Il candidato risolva i problemi che seguono. Vengano scritte per ciascun problema, nel modo più chiaro possibile, soltanto le equazioni necessarie ad ottenere i risultati richiesti, accompagnate eventualmente da un brevissimo commento (non più di una riga).

Problema 1

Una forcella metallica di massa trascurabile a forma di U, costituita da tre lati di un rettangolo, ha un perno centrale a metà del lato maggiore orizzontale, attorno al quale può ruotare con attrito trascurabile. I lati verticali sono a distanza D dal perno, in posizione simmetrica. Essi fungono a loro volta da perni attorno ai quali possono ruotare due dischi metallici uguali, di raggio R < D e massa M, con attrito trascurabile. Il sistema è posto in rotazione dalla caduta senza attriti di un peso di massa m collegato, mediante un filo inestensibile attraverso una carrucola, ad un rocchetto di raggio R, solidale col perno della forcella. All'istante t = 0 il tutto è in quiete ed il peso inizia a scendere. Descrivere il moto del sistema. Come varia il moto se i due dischi sono bloccati sui loro perni?

Problema 2

Tre sorgenti puntiformi di onde radio, coerenti ed identiche, sono allineate, equispaziate di una distanza d = 1 m, ed emettono isotropicamente in aria onde armoniche di frequenza nu= 100 MHz. Lo sfasamento tra la prima e la seconda sorgente è DeltaPhi = 2pi/3, lo stesso che esiste tra la seconda (centrale) e la terza sorgente. La potenza di ciascuna sorgente è P = 100 W. Nell'approssimazione di onda piana (distanza di ricezione molto grande rispetto alla spaziatura delle sorgenti) e considerando che la velocità delle onde elettromagnetiche in aria sia 3 108 m/s:
  1. determinare le direzioni in cui si trovano i massimi principali ed i minimi di interferenza;
  2. discutere l'eventuale presenza di massimi secondari;
  3. calcolare l'ampiezza massima del campo elettico e del campo magnetico in corrispondenza dei massimi principali di intensità ad una distanza D = 1 km dalla sorgente centrale.

Problema 3

Un fascio di atomi di idrogeno è emesso da una sorgente riscaldata a T = 400 K e inviato ad un magnete per un esperimento alla Stern-Gerlach, di lunghezza L = 1 m e con un gradiente di campo di 10 T/m in direzione ortogonale alla lunghezza. Calcolare, nel punto di uscita del magnete, la deflessione di ciascuna componente del fascio dovuta all'interazione magnetica.
Suggerimento: considerare se in queste condizioni di temperatura gli atomi possano trovarsi o no in stati eccitati.


Scritto di dottorato (4 ore) - XIII ciclo

Commissione: A. Maritan (presidente), S. Lunardi, G. Busetto

Tema 1

Il candidato svolga a scelta ed in maniera concisa uno dei seguenti temi:

Si svolgano inoltre i seguenti tre esercizi:

Esercizio 1

Il diametro del Sole osservato dalla Terra sottende un angolo di apertura theta circa uguale a 0.5 gradi. Nell'approssimazione di un'orbita circolare della Terra, si esprima il rapporto tra la densità media del Sole e della Terra in funzione dell'accelerazione di gravità g sulla superficie terrestre, del periodo T di rivoluzione della Terra intorno al Sole, del raggio della Terra RT e dell'angolo theta.
Si stimi inoltre il contributo all'errore relativo su tale rapporto qualora la misura dell'angolo theta sia ottenuta con un errore relativo del 10%.

Esercizio 2

Si può assumere che la carica di ciascuno dei due elettroni di un atomo di 4He sia distribuita secondo la densità
rho(r) = -(8 e / pi a3) exp(-4 r / a),
con a = 0.53 10-10 m (raggio di Bohr). Si assuma puntiforme la carica del nucleo.
Determinare campo elettrico e potenziale dell'atomo di elio. Trovare l'energia di interazione tra i due elettroni.

Esercizio 3

Due nucleoni di massa M1 ed M2 interagiscono con un potenziale attrattivo
V(r) = - V0 exp(-r/a) / (r/a)
dove r è la loro distanza relativa. Nell'ambito di un principio variazionale, si stimi per quali valori di V0 esiste uno stato legato.
(Suggerimento: la parte radiale, R(r), della funzione d'onda di una particella di massa m in un potenziale centrale V(r) soddisfa l'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo:
(hbar2/2m) [-(1/r) (d2(rR)/dr2) + (l(l+1)/r2) R] + VR = ER
Ai fini del principio variazionale si possono usare funzioni d'onda di tipo idrogenoide.

Tema 2

Il candidato svolga a scelta ed in maniera concisa uno dei seguenti temi:

Si svolgano inoltre i seguenti tre esercizi:

Esercizio 1

Una macchina termica ciclica lavora scambiando calore con due serbatoi di capacità termica costante C1 e C2 = 2 C1. Le temperature iniziali dei due serbatoi sono T1 e T2 = T1 / 2. La macchina si arresta quando i due serbatoi raggiungono la stessa temperatura Tf.
Si calcoli la temperatura finale Tf del processo, nel caso di reversibilità della macchina termica. Nel caso la macchina termica sia irreversibile, si indichi inoltre se la temperatura Tf' dei serbatoi alla fine del processo deve essere più o meno elevata di Tf, giustificando tale risposta.

Esercizio 2

L'atomo di idrogeno, nello stato fondamentale, può essere descritto mediante una carica puntiforme +e, circondata da una distribuzione di carica negativa
rho(r) = A exp(-2r/a)
con a = 0.53 10-10 m (raggio di Bohr).
Determinare la costante A, il campo elettrico ed il potenziale del sistema.
Calcolare inoltre l'energia di interazione tra la nuvola elettronica ed il protone.

Esercizio 3

Una particella carica di massa m che si muove in una dimensione ed è soggetta ad un potenziale armonico V(x) = m omega2 x2 / 2 si trova nel suo stato fondamentale. Improvvisamente viene acceso un campo elettrico uniforme E.
Si determini la probabilità che la carica si trovi in uno stato eccitato del sistema in presenza del campo E. Che relazione c'è tra gli autovalori e le autofunzioni del sistema con E = 0 ed E diverso da zero?

Tema 3

Il candidato svolga a scelta ed in maniera concisa uno dei seguenti temi:

Si svolgano inoltre i seguenti tre esercizi:

Esercizio 1

Un anello circolare, costituito da un filo elastico di costante elastica k, massa M e lunghezza a riposo L0 = 2 pi r0, poggia su di un piano orizzontale privo di attrito e ruota attorno a un asse verticale passante per il suo centro con una velocità angolare omega costante. Nell'ipotesi che nella rotazione l'anello mantenga una forma circolare, si esprima il rapporto tra il raggio r dell'anello in rotazione ed il raggio r0 in condizioni di riposo, in funzione di k, M ed omega.

Esercizio 2

Due stelle S1 ed S2 vengono osservate mediante un telescopio il cui obiettivo ha un diametro d = 80 cm e distanza focale f = 12 m. Supponendo che entrambe distino 9 anni luce dalla Terra e che la luce emessa abbia una lunghezza d'onda lambda = 550 nm, calcolare la minima distanza tra le due stelle affinché esse possano essere distinte nel telescopio; calcolare inoltre a che distanza si formano le immagini di S1 e S2 nel piano focale dell'obiettivo, in tali condizioni. Di che fattore deve variare la loro distanza relativa affinché possano essere risolte dall'occhio umano (diametro della pupilla = 4 mm)?

Esercizio 3

Una particella di massa m che si muove in una dimensione è soggetta ad un potenziale
V(x) = -(hbar2/2m) (v/a) [delta(x+a) + delta(x-a)]
con v > 0 e delta(x) la funzione delta di Dirac.
Si calcolino gli autovalori e le autofunzioni degli stati legati al variare di v.
Si determini inoltre la forza a cui sono soggetti i due centri di attrazione in x = a ed x = -a, dovuta alla presenza della particella di massa m.


Scritto di dottorato (7/1/97, 5 ore) - XII ciclo

Commissione: F. Ceradini (Univ. di Roma, presidente), U. Gasparini, V. Manfredi

Tema 1

Il candidato svolga, a scelta, uno dei seguenti argomenti:

  1. Molti fenomeni fisici possono essere descritti col modello dell'oscillatore armonico. Illustrare un esempio, collegare le grandezze fisiche ai parametri del modello e discuterne la validità.
  2. Gli esperimenti di scattering sono fondamentali strumenti di indagine nello sviluppo della fisica moderna. Descriverne uno in particolare, illustrandone gli aspetti sperimentali e l'importanza dal punto di vista teorico-fenomenologico.
  3. Illustrare le evidenze sprimentali della natura quantistica della radiazione elettromagnetica.

Il candidato svolga i seguenti esercizi:

  1. Calcolare in approssimazione non relativistica e nel limite E>>kT il numero di fermioni di spin 1/2 che sono confinati in una buca di potenziale di volume V ed energia U. Definire i valori con un esempio che rappresenti un sistema fisico.
  2. Calcolare sulla base del modello atomico di Bohr l'energia dello stato fondamentale del positronio, stato legato elettrone-positrone. Indicare gli stati di momento angolare. La degenerazione dello stato fondamentale è rimossa dall'interazione spin-spin rappresentata dall'operatore H=k Se+ Se- (NdR: prodotto scalare dei due operatori). Calcolare i livelli di energia, la loro molteplicità ed indicare quali sono i modi di decadimento del positronio (La differenza di energia fra gli stati è: 8.4 10-4 eV).
  3. Particelle di massa m e carica elettrica e non note vengono emesse dalla sorgente S e accelerate dall'elettrodo A in cui vi è un piccolo foro; un rivelatore misura il punto di impatto sul piano R (NdR: il disegno mostra la sorgente puntiforme S, un elettrodo piano A con un foro ed un piano R parallelo ad A: l'asse x è la retta che passa per S, perpendicolare ad A ed R, passante per il foro in A; gli assi y e z sono perpendicolari ad x e tra loro, e paralleli ai piani A ed R). La distanza A-R è di d=10 cm. Nella regione tra A ed R vi è un campo elettrico uniforme Ey normale all'asse x ed un campo magnetico uniforme Bz normale agli assi x ed y. Inizialmente Ey=104 V/m e Bz=0. Le coordinate del punto di impatto sono x=z=0, y=10 cm. Successivamente si regola il valore di Bz=10-3T in modo che x=y=z=0. Calcolare il valore del rapporto e/m.

Tema 2

Il candidato svolga, a scelta, uno dei seguenti argomenti:

  1. Illustrare con qualche esempio la rilevanza del concetto di simmetria nel derivare le leggi fisiche alla base dei fenomeni naturali. Discutere un esperimento, con particolare riferimento alla metodologia di misura, per verificare la validità (o la violazione) di una simmetria in un fenomeno fisico.
  2. Discutere gli esperimenti più significativi che hanno contribuito allo sviluppo della meccanica quantistica. Illustrarne uno in dettaglio.
  3. La spettroscopia come studio delle transizioni tra stati in fisica della materia condensata o atomica o nucleare o subnucleare. Discutere un esempio, la metodologia di misura, i risultati e la loro interpretazione.

Il candidato svolga i seguenti esercizi:

  1. Un oscillatore armonico quantistico unidimensionale di massa m è soggetto ad una forza elastica con costante di richiamo k. Calcolare il valor medio dell'energia cinetica e dell'energia potenziale nello stato fondamentale. Estendere le conclusioni al caso a più dimensioni. Indicarne i valori per un esempio che rappresenti un sistema microscopico.
  2. Nell'esperimento che portò alla scoperta del neutrone si osservò che, per effetto di una radiazione neutra, venivano emessi protoni con velocità fino al valore massimo vmax = 3 107 m/s. Calcolare l'energia delle particelle neutre incidenti nell'ipotesi che siano:
    1. fotoni (effetto Compton fotone-protone)
    2. neutroni (urto elastico neutrone-protone), assumendo che neutrone e protone abbiano la stessa massa.
  3. Un asteroide entra nel campo gravitazionale terrestre (si può trascurare l'effetto di altri campi) con velocità iniziale v0 e parametro d'urto b = 100 RTerra. Calcolare il valore minimo di v0 per cui non urta la Terra (RTerra = 6.4 106 m).

Tema 3

Il candidato svolga, a scelta, uno dei seguenti argomenti:

  1. Illustrare la necessità, le implicazioni ed alcune verifiche sperimentali della relatività ristretta.
  2. Il momento angolare intrinseco (spin) dei fermioni nell'interpretazione di fenomeni di fisica della materia condensata o atomica o nucleare o subnucleare. Descrivere un esempio in particolare.
  3. Interazione radiazione elettromagnetica-materia e sue applicazioni nello studio di fenomeni fisici.

Il candidato svolga i seguenti esercizi:

  1. Un sistema quantistico, descritto dall'hamiltoniano H0, può esistere in due stati stazionari indipendenti: |A> e |B>. Questi sono degeneri e coniugati rispetto ad un operatore unitario C: C|A> = |B>, C|B> = |A>. C commuta con H0 e con l'operatore di perturbazione Hi. Calcolare gli autostati comuni a C e H = H0 + Hi, gli autovalori di energia e l'evoluzione temporale del sistema. Illustrare un fenomeno fisico osservabile.
  2. Calcolare sulla base del modello atomico di Bohr il campo magnetico generato al centro dell'orbita da un elettrone che percorre una circonferenza di raggio a pari al raggio atomico di Bohr e gli stati di energia potenziale di un protone al centro dell'orbita (fattore giromagnetico del protone g = 5.6).
  3. Due satelliti artificiali si muovono sulla stessa orbita circolare intorno alla Terra, separati da una distanza x uno dall'altro. Determinare:
    1. l'altezza h dell'orbita dalla superficie terrestre, sapendo che il loro periodo di rivoluzione è T = 2 ore. (Si assumano i seguenti valori: raggio terrestre RT = 6.4 106 m; accelerazione di gravità sulla superficie terrestre: g = 9.8 m/s2).
    2. qual è il minimo valore di x perchè i due satelliti vengano osservati come distinti da un telescopio di diametro d = 0.1 m che utilizza luce di lunghezza d'onda lambda = 5 10-7 m, sapendo che per il potere risolutivo di una fenditura circolare vale la relazione Deltatheta = 1.22 Deltatheta0, dove Deltatheta0 è il potere risolutivo angolare di una fenditura rettilinea.


Scritto di dottorato (15/12/95, 4 ore) - XI ciclo

Tema 1

Esercizio 1

Si consideri un plasma, di forma sferica e raggio R, completamente ionizzato e globalmente neutro, costituito da protoni ed elettroni, con densità uniforme rho=1.6 g/cm3. Per fotoni di energia sufficientemente bassa che urtano contro particelle di carica e e massa m la diffusione è isotropa e la sezione d'urto è data dalla formula di Thomson:

sigma = (8 pi / 3) (e2 / mc2)2

  1. Calcolare il libero cammino medio lambda di un fotone.
  2. Dimostrare che se un fotone effettua mediamente una collisione ogni tratto lambda, il numero medio di collisioni N su un percorso che vada dal centro A della sfera ad un punto B della superficie è dato da N = (R / lambda)2
  3. Utilizzando l'espressione data in (2.) calcolare il tempo medio impiegato da un fotone inizialmente in A per raggiungere la superficie se R = 6 1010 cm.

Esercizio 2

Si schematizzi un nucleo di carica Ze come una sfera di raggio R con densità di carica uniforme. Si vuole studiare l'atomo formato da tale nucleo e da un mu-, in assenza di elettroni, considerando l'interazione puramente elettrostatica.
  1. Scrivere l'andamento del potenziale generato dal nucleo in funzione della distanza r dal suo centro.
  2. Trovare l'espressione dell'energia dello stato fondamentale nel caso limite R -> 0.
  3. Trovare l'espressione dell'energia dello stato fondamentale nel caso limite R -> infinito, mantenendo costante il rapporto csi = Z/R3.
  4. Calcolare il valore dell'energia nel caso (3.), sapendo che la massa del muone è mmu = 105 MeV/c2, Z = 90 e csi = 0.5 fm-3.

Dissertazione

Simmetrie e leggi di conservazione: il candidato discuta un esempio specifico, dal punto di vista teorico o sperimentale.

Tema 2

Esercizio 1

Un disco sottile e pesante, di raggio R=10 cm e centro O, è formato da due parti semicircolari di densità superficiale sigma e 3sigma rispettivamente, con sigma=2 g/cm2. Si realizza una posizione di equilibrio con la retta OG orizzontale (G è il baricentro del disco), appoggiandolo nel punto A sul suolo (orizzontale) con attrito, e ad un appoggio puntiforme liscio in P, posto allo stesso livello di O e G, e dalla stessa parte di G.
  1. Determinare la distanza OG.
  2. Determinare il momento d'inerzia del disco rispetto all'asse normale al disco stesso passante per O.
  3. Dimostrare che, in assenza d'attrito in A, la posizione indicata non sarebbe di equilibrio.
  4. Tolto il vincolo in P, e supposto che il disco rotoli senza strisciare sul suolo, determinare la velocità angolare assunta dal disco quando OG è verticale.

Esercizio 2

  1. Si calcoli la forza di gravità agente su un elettrone (m = 10-30 kg, e = 1.6 10-19 C, g=10 m/s2). Si schematizzi il conduttore cilindrico descritto in figura (n.d.r: la figura descrive un cilindro di altezza d posto sopra un piano isolante con indicati i punti A, comune al piano ed alla circonferenza della faccia inferiore del cilindro, e B, corrispondente verticale di A nella faccia superiore) come costituito da un reticolo cristallino indeformabile e da elettroni di conduzione, considerati come particelle libere di muoversi all'interno del conduttore. La carica totale del conduttore è nulla.
  2. Osservando che in condizioni di equilibrio la forza totale agente su ogni elettrone deve annullarsi, calcolare la differenza di potenziale deltaV che si instaura tra A e B (d=1 m) per effetto della gravità.
  3. Si supponga di aver praticato un piccolissimo foro lungo l'asse del cilindro (in figura sono indicati i punti estremi del foro, C e D, rispettivamente nella faccia superiore ed inferiore del cilindro) e si consideri un elttrone posto in C, con velocità iniziale v0 = 1 m/s diretta verso il basso; calcolare il tempo impiegato per raggiungere il punto D.
  4. Stesso che in (3.) per un positrone.

Dissertazione

Processi d'urto: il candidato discuta un problema specifico, dal punto di vista teorico o sperimentale.

Tema 3

Esercizio 1

Una sfera di grafite, e quindi conduttrice, di diametro D, è investita da un fascio di protoni, uniforme e costante nel tempo, con energia E e densità di corrente j. La sezione del fascio è molto più grande della sezione della sfera. Al tempo t = 0 la carica sulla sfera è nulla; la sfera si carica progressivamente assorbendo tutti i protoni che ne urtano la superficie. Si consideri la sfera sempre immobile.
  1. Calcolare il potenziale V della sfera in funzione della carica Q assorbita.
  2. Determinare, in funzione di Q, il massimo parametro d'impatto bmax per cui i protoni colpiscono la sfera.
  3. Trovare l'espressione per dQ/dt in funzione di Q, e quindi determinare la dipendenza temporale Q = Q(t).
  4. Calcolare la carica massima raggiungibile dalla sfera nel caso che D = 10-5 m, E = 3 keV. La costante dielettrica del vuoto vale epsilon0 = 8.8 10-12 Fm-1.

Esercizio 2

Un elettrone è contenuto all'interno di una sfera di raggio R ed è libero di muoversi al suo interno.
  1. Trovare l'espressione per l'energia dello stato fondamentale E(R).
  2. Calcolare tale energia in eV, se R = 10-8 cm.
  3. Calcolare la pressione esercitata sulle pareti della sfera dall'elettrone, sapendo che, se il raggio della sfera cambia lentamente, per ogni valore di R l'elettrone si trova nello stato fondamentale corrispondente.
  4. Che vuol dire lentamente?

Tema

L'interazione elettromagnetica è di estrema importanza per lo studio dei sistemi microscopici e/o macroscopici: il candidato discuta una specifica applicazione, dal punto di vista teorico o sperimentale.


Scritto di dottorato (13/12/94, 4 ore) - X ciclo

Si discuta di uno dei seguenti argomenti:

  1. Fenomeni di alta energia negli acceleratori o in natura e loro rivelazione.
  2. Processi di interazione particelle cariche-materia come mezzi per lo studio di proprieta' fisiche fondamentali della materia condensata.
  3. Struttura del nucleo atomico indagata tramite reazioni nucleari.
  4. Recenti applicazioni dei semiconduttori come rivelatori per radiazione ionizzante.
  5. L'uso di tecniche proprie della fisica in ricerche di tipo interdisciplinare.


Scritto di dottorato (14/12/93, 4 ore) - IX ciclo

Taluni esperimenti hanno mostrato nei loro risultati effetti non previsti dalla teoria e che ne hanno modificato certi aspetti. Il candidato ne discuta in sintesi un esempio.


Scritto di dottorato - VIII ciclo

Il candidato svolga concisamente il tema e discuta brevemente l'argomento successivo.

  1. Si illustri un metodo di indagine sperimentale o teorico attualmente in uso nella ricerca fisica.
  2. Il principio di Pauli e sue conseguenze.


Ultimo aggiornamento 10 Jul 2000.
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