Laurea Magistrale in Fisica - a.a. 2013-14
Corso di Fisica Teorica
Parte B: Meccanica Quantistica Avanzata
Docente: Fabio Zwirner (fabio.zwirner@pd.infn.it)
Orario delle lezioni (Parti A e B)
Giorno: |
Lunedì | Martedì |
Mercoledì | Giovedì |
Ora: | 8:30-10:30 | 10:30-12:30 |
10:30-12:30 | 9:30-11:30 |
Aula: |
C |
C |
C |
C |
Docente: |
Zwirner |
Zwirner |
Marchetti |
Marchetti |
Il corso è terminato. Il voto conseguito nelle prove scritte,
compitini inclusi, resta valido per un anno dalla data della prova,
ai fini della registrazione o dell'eventuale orale, a meno che non
si sostenga nel frattempo un'altra prova scritta che lo annulla
automaticamente. La registrazione va fatta per l'esame completo,
A+B, ad un qualsiasi appello entro la data di scadenza dei voti.
Prova scritta del 27 gennaio:
testo e soluzione,
risultati.
Prova scritta del 24 febbraio:
testo e soluzione,
risultati.
Prova scritta del 16 giugno:
testo e soluzione,
risultati.
Prova scritta del 25 agosto:
testo e soluzione,
risultati.
Prova scritta del 17 settembre:
testo e soluzione,
risultati.
Ultime opportunità di registrazione per la sessione di recupero:
giovedì 25 settembre ore 15, venerdì 26 settembre ore 15.
Esercizi proposti (da considerare come parte integrante del corso):
foglio 1,
soluzioni;
foglio 2,
soluzioni;
foglio 3,
soluzioni;
foglio 4,
soluzioni;
foglio 5,
soluzioni;
foglio 6,
soluzioni;
foglio 7,
soluzioni;
foglio 8,
soluzioni;
foglio 9,
soluzioni;
foglio 10,
soluzioni;
foglio 11,
soluzioni.
Indicazioni generali e programma di massima
Il corso discute il concetto di simmetria e la sua applicazione ai
sistemi fisici, in particolare quelli descritti dalla Meccanica
Quantistica (MQ). A tale scopo, nella Parte A (Simmetrie e gruppi
in fisica, Prof. Marchetti) vengono forniti degli strumenti avanzati
di matematica, concentrando la discussione sulla teoria dei gruppi e
delle loro rappresentazioni, nonché sulle applicazioni fisiche
dei gruppi di simmetria in MQ. Le informazioni ad essa relative si
possono trovare al seguente
link.
Nella Parte B (MQ Avanzata, Prof. Zwirner) vengono discusse altre
applicazioni fisiche dei gruppi di simmetria in MQ e vengono
introdotti vari metodi di approssimazione, l'accoppiamento
di una particella quantistica al campo elettromagnetico, i processi
d'urto e le equazioni relativistiche. Programma di massima della Parte
B: richiami sul formalismo della MQ; complementi sull'evoluzione causale;
metodo perturbativo ed altri metodi di approssimazione; particella carica
in campo elettromagnetico; simmetrie dinamiche ed esempi di sistemi con
simmetrie dinamiche; processi d'urto in MQ; equazioni relativistiche e
cenni al passaggio dalla MQ alle Teoria Quantistica dei Campi.
Il programma dettagliato della Parte B verrà affisso di volta in
volta su questa pagina dopo lo svolgimento delle lezioni.
Testi consigliati per la Parte B:
-
C.Cohen-Tannoudji, B.Diu, F.Laloe [CT]
Quantum Mechanics (2 volumes)
Hermann, 1977
-
K.Konishi, G.Paffuti [KP]
Meccanica Quantistica: nuova introduzione
Pisa University Press, 2005
-
J.J.Sakurai [SAK]
Meccanica Quantistica Moderna
Zanichelli, 1996
-
S.Weinberg [WEI]
Lectures on Quantum Mechanics
Cambridge University Press, 2013
-
L.Maiani, O.Benhar [MB]
Meccanica Quantistica Relativistica
Editori Riuniti, 2012
-
R.D'Auria, M.Trigiante [DT]
From Special Relativity to Feynman Diagrams
Springer, 2011
Modalità dell'esame e registrazione del voto
Per la Parte A: prova scritta ed orale. Per la Parte B: prova scritta che
esonera dalla prova orale, con possibilità di prova orale su richiesta.
Per la Parte B sono previste due prove scritte di accertamento in itinere,
in alternativa alla prova scritta d'esame. Presentarsi ad una prova
scritta di esame comporta l'annullamento automatico dei risultati
conseguiti nelle prove precedenti. Presentarsi ad una prova orale
comporta l'annullamento automatico delle prove scritte sostenute in
precedenza nel caso in cui il voto conseguito all'orale non venga
accettato.
Algoritmo per la determinazione del voto finale. Il voto finale
è unico per l'intero corso (parti A e B), per la registrazione
basta iscriversi su UNIWEB alla prova finale di una qualsiasi delle
due parti.
Programma dettagliato della Parte B
- [1/10/13 (2 ore) (KP 4.1,4.3,4.4; CT III-B.1,B.2,B.3,C;
SAK 1.2,1.3,1.4; WEI 3.1,3.2,3.3)]:
Introduzione alla Parte B del corso. Richiami sul formalismo della MQ.
- [2/10/13 (2 ore) (CT CII,3D1,3D2,FIII,GIII; KP 4.4.2,4.5,4.6,4.7,7.1;
SAK 2,1,2.2; WEI 3.4,3.6)]:
Considerazioni introduttive sull'evoluzione causale in MQ. Richiami sugli
operatori unitari e le loro proprietà . L'operatore di evoluzione
temporale e le sue proprietà nel caso generale. L'Hamiltoniano
come generatore delle traslazioni temporali. Evoluzione temporale per
sistemi conservativi. Trasformazioni unitarie e loro proprietà .
La visuale di Heisenberg, relazione con la visuale di Schroedinger,
evoluzione temporale in visuale di Heisenberg.
- [7/10/13 (2 ore) (KP 4.6.1;7.1,7.A,2.7.2; CT GIII,IIID1d;
SAK 2.1,2.2,2.3)]:
Evoluzione causale per i sistemi non-conservativi: soluzione iterativa
per l'operatore di evoluzione temporale, prodotto cronologico di
operatori dipendenti dal tempo. Limite classico della MQ e teorema di
Ehrenfest. Esercizio: oscillatore armonico in visuale di Heisenberg.
- [8/10/13 (2 ore)
(KP 1.B.2,1.B.3,3.4.1,3.4.2,4.6.1; CT IIIDe,5A,5B,5C,5D,GV;
SAK 1.4,1.6,2.1,2.2,2.3,2.prob18; WEI 9.3,9.4)]:
Esercizi e complementi: Hamiltoniano come generatore delle traslazioni
temporali in Meccanica Classica; relazione di indeterminazione tempo-energia;
stati coerenti dell'oscillatore armonico e loro proprietà.
- [14/10/13 (2 ore) (CT XIA,XIB,XIC; SAK 5.1,5.2; KP 9.1.1,9.1.2;
WEI 5.1,5.4)]:
Il metodo perturbativo: perturbazioni indipendenti dal tempo, caso
non degenere e caso degenere. Esempio: perturbazione in un sistema
a tre stati con degenerazione e confronto con la soluzione esatta.
- [15/10/13 (2 ore) (CT EXI; SAK 5.4,6.4; KP 9.2.1,9.2.2; WEI 5.5)]:
Il metodo variazionale. Esempio: calcolo dell'energia dello
stato fondamentale dell'atomo di elio con il metodo variazionale
e confronto con il risultato perturbativo al primo ordine.
- [21/10/13 (2 ore)
(CT XIIIA,XIIIB,XIIIC,CXIII; SAK 5.5,5.6; KP 9.1.3; WEI 6.1,6.2)]:
Il metodo perturbativo per perturbazioni dipendenti dal tempo:
considerazioni introduttive, visuale di interazione, evoluzione
temporale di stati ed operatori in visuale di interazione.
Esercizio proposto: formula di Rabi. La serie di Dyson per
l'operatore di evoluzione temporale in visuale di interazione,
calcolo della probabilità di transizione tra due autostati
dell'Hamiltoniano imperturbato.
- [22/10/13 (2 ore) (KP 9.1.3; CT XIIIC,DXIII; SAK 5.6,2.4; WEI 6.2,5.7)]:
Esempio di applicazione del metodo perturbativo nel caso dipendente
dal tempo: perturbazioni armoniche e costanti, emissione ed assorbimento
risonanti, regola d'oro di Fermi. Cenni introduttivi all'approssimazione
WKB.
- [24/10/13 (2 ore) (SAK 2.4; WEI 5.7;
Griffiths 8.1,8.2)]:
L'approssimazione WKB: la regione classicamente permessa, esempio della
buca di potenziale infinita con fondo deformato; la regione classicamente
proibita, esempio della diffusione da una barriera rettangolare di
potenziale con bordo superiore deformato, applicazione al modello di
Gamow per il decadimento alfa.
- [28/10/13 (2 ore) (SAK 2.4; WEI 5.7;
Griffiths 8.3)]:
Ancora sull'approssimazione WKB: soluzione dell'equazione di Schroedinger
indipendente dal tempo per un potenziale lineare, equazione di Airy,
funzioni di Airy e loro comportamento asintotico; funzioni d'onda WKB
per un potenziale lineare; formule di collegamento per un punto di
transizione con potenziale crescente; esempio della buca di potenziale
con parete sinistra verticale, caso particolare del "mezzo" oscillatore
armonico; formule di collegamento per un punto di transizione con
potenziale decrescente; esempio della buca di potenziale senza pareti
verticali, condizione di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld.
- [4/11/13 (2 ore) (KP 8.1; CT HIII, AppIII4b; SAK 2.6; WEI 10.1,10.2)]:
Cenni introduttivi all'interazione elettromagnetica in MQ. Richiami
sul moto non-relativistico di una particella classica in un campo
elettromagnetico assegnato: legge della forza di Lorentz,
potenziali scalare e vettore, Lagrangiana, Hamiltoniano, trasformazioni
di gauge, sostituzione minimale. Particella quantistica senza spin in
un campo elettronagnetico assegnato: Hamiltoniano, derivate covarianti,
covarianza dell'equazione di Schr\"odinger per trasformazioni di gauge.
Esempio: equazione quantistica per la forza di Lorentz e teorema di Ehrenfest.
- [5/11/13 (2 ore) (KP 8.2,8.3; CT EVI; SAK 2.6; WEI 10.3,10.4)]:
Ancora sulla particella quantistica senza spin in un campo elettromagnetico
assegnato: campo magnetico costante e livelli di Landau; l'effetto Aharonov-Bohm.
- [11/11/13]: Prima prova di accertamento in itinere: testo e soluzione
del
compito A
e del
compito B;
risultati.
- [12/11/13 (2 ore) (KP 5.11; SAK 2.6,4.1)]:
Dualità delle equazioni di Maxwell e monopoli magnetici: la
condizione di quantizzazione di Dirac. Le simmetrie dinamiche:
caratterizzazione, degenerazioni nello spettro dell'energia,
costanti del moto.
- [18/11/13 (2 ore) (KP 5.11,5.12; CT FII, SAK 4.2,4.4; WEI 4.7)]:
Simmetrie dinamiche dipendenti dal tempo. Trasformazioni di Galileo.
Parità spaziale. Inversione temporale.
- [19/11/13 (2 ore) (KP 6.1.1,6.1.2,6.3; CT VII; WEI 4.8)]:
Primi esempi di simmetrie dinamiche: particella libera e particella in
un campo di forze centrali. Simmetrie dinamiche dell'atomo di idrogeno:
richiami sui sistemi di due particelle in MQ e sulla trattazione
elementare dell'atomo di idrogeno; il vettore di Runge-Lenz e le sue
proprietà ; derivazione dello spettro e spiegazione della sua
degenerazione con l'ausilio delle simmetrie dinamiche.
- [25/11/13 (2 ore) (WEI 2.5,4.6)]:
Simmetrie dinamiche dell'oscillatore armonico isotropo: spettro e
degenerazione in dimensione arbitraria; gruppo di simmetrie dinamiche
ed algebra di Lie di costanti del moto nel caso tridimensionale;
caratterizzazione della degenerazione in termini di rappresentazioni
di SU(3) e SO(3).
- [27/11/13 (2 ore) (CT VIIIA,VIIIB)]:
Urti (elastici) in MQ: considerazioni introduttive, definizione di
sezione d'urto, stati stazionari di scattering, ampiezza di scattering,
densità di corrente di probabilità per l'onda incidente
e per l'onda diffusa.
- [2/12/13 (2 ore) (CT VIIIB,VIIIC,App.2)]:
Commenti ai questionari di valutazione compilati dagli studenti la
settimana precedente.
Ancora sugli urti elastici in MQ: relazione tra ampiezza di scattering
e sezione d'urto; equazione integrale per la diffusione, funzioni di
Green entranti ed uscenti, l'approssimazione di Born.
Diffusione da un potenziale centrale: cenni introduttivi al metodo
delle onde parziali.
- [3/12/13 (2 ore) (CT VIIIC,AVIII)]: Ancora sulla diffusione da
un potenziale centrale e sul metodo delle onde parziali. Stati
stazionari di particella libera: stati stazionari ad impulso
definito (onde piane), stati stazionari a momento angolare
definito (onde sferiche libere), proprietà fisiche delle
onde sferiche libere, espansione di un'onda piana in onde sferiche
libere. Onde parziali nel potenziale V(r): equazione radiale e
sfasamenti, significato fisico degli sfasamenti, espressione della
sezione d'urto in termini degli sfasamenti.
- [5/12/13 (2 ore) (CT VIIIC,BVIII; MB 4.1,6.0; DT 10.1,10.2)
(DT10a)]:
Ancora sul metodo delle onde parziali: commenti conclusivi sulle
formule per lo scattering elastico, urti con assorbimento, teorema
ottico. Introduzione alle equazioni relativistiche, l'equazione di
Klein-Gordon, richiami su trasformata e integrale di Fourier.
- [16/12/13 (2 ore) (MB 4.1,6.0,3.1,3.3,3.4,3.5;
DT 8.5.0,8.5.1,8.5.2,8.7,8.8.1)
(DT8)]:
Soluzione generale dell'equazione di Klein-Gordon libera. Introduzione
elementare al formalismo Lagrangiano per i campi. Azione invariante e
densità di Lagrangiana per il campo scalare reale libero. Il
teorema di Noether per i campi nel caso semplice di simmetrie "interne".
Il campo scalare complesso libero: densità di Lagrangiana e sua
invarianza per trasformazioni di fase, identificazione della corrente
conservata corrispondente. Problemi con l'equazione di Klein-Gordon in
"prima quantizzazione".
- [7/1/14 (2 ore) (MB 6.0,6.1.0,6.1.1,6.1.3; DT 10.4.0,10.4.1,10.4.4)
(MB6)
(DT10b)]:
Richiami sugli spinori non-relativistici a due componenti. Introduzione
euristica all'equazione di Dirac. Equazione di Dirac, matrici gamma ed
algebra di Dirac, proprietà delle matrici gamma che discendono
direttamente dall'algebra. Spinori di Dirac a quattro componenti.
Rappresentazioni di Dirac e di Weyl delle matrici gamma. Algebra
di Lie del gruppo di Lorentz e rappresentazione sugli spinori di Dirac.
Matrice gamma-5, proiettori chirali e loro proprietà.
- [8/1/14 (2 ore) (MB 6.1.2,6.1.4; DT 10.4.2,10.4.3,10.4.4,10.5,10.6]:
Proiezioni chirali degli spinori di Dirac e spinori di Weyl a due componenti.
Ancora sull'equazione di Dirac: covarianza relativistica, decomposizione
nelle componenti degli spinori a chiralità definita, lo spinore
coniugato psi-barra e le sue proprietà di trasformazione, equazione
di Dirac per psi-barra. Il campo di Dirac libero a livello classico:
Lagrangiana di Dirac e sue proprietà . Invarianza U(1) vettoriale
e corrente vettoriale conservata. Soluzioni di tipo onda piana
dell'equazione di Dirac libera, equazione di Dirac nello spazio degli
impulsi per gli spinori u e v e per i loro coniugati di Dirac, proiettori
sulle soluzioni ad energia positiva e ad energia negativa.
- [13/1/14 (2 ore) (MB 6.1.4,6.1.5; DT 10.6,10.6.1,10.7]:
Soluzione generale dell'equazione di Dirac, condizioni di normalizzazione
e relazione di completezza per gli spinori di base. Spin ed elicità .
Accoppiamento minimale al campo elettromagnetico, limite non-relativistico
e fattore giromagnetico. Problemi con l'intepretazione dell'equazione di
Dirac come equazione per la funzione d'onda.
- [21/1/14]: Seconda prova di accertamento in itinere: testo e soluzione
del
compito A
e del
compito B;
risultati.